«π・パイ・Π»

僕は学生時代、家庭教師をしていたんですが、その時の教え子から久々に連絡がありました。
「先生、お久しぶりですー」
「おー、久しぶり。声変わったなーw」
「だってもう声変わりしたもん」
なんて感じで久々に話していたんですが、彼からちょっと数学の質問をされて、はたと悩んでしまいました。
それ、2003年の東大理系数学の試験問題だったんですよね。。。すぐに解けたらおかしいってw
今から思うと、絶対嫌がらせだったんじゃないかと思います。。。あんにゃろw

で、どういう問題だったかというと、これが意外とシンプルで、
「円周率のπ(パイ)がπ＞3.05であることを証明せよ」というものでした。
(注：パソの設定によっては、パイが見慣れた形のパイで表示されないかもしれません＾＾；ごめんなさい)
これを聞いて、なんだか僕の日常生活では登場してこないπという存在を妙に懐かしくも思ってしまって。
と同時に、数学において当たり前のように使われている、いわゆるお約束の部分って、意外とその根本の定義付けを忘れがちだということにふと気がつく自分がいたんです。
ま、ぶっちゃけπと聞いて、某青年誌に連載されてるπというマンガが出てきた自分は相当DQNスよね、ええ＾＾；

さてと、こっからは若干堅苦しくなるかもしれないんでご容赦を。
以下、＊というのは掛け算のこと(いわゆる×のことです)として表記します。
円周率ってそもそも何者かってのを久しく忘れていた気がしたんで、ふと思い出してみると、そんな難しいものじゃなくて、円の直径に対する円周の比率の定数、だったと思います。
ま、円周率っていうくらいだから当たり前なんだけど(笑)、これが定数だってことは、円の半径を何で設定しても同じ定数が出てくるということなので、これを使った証明問題がこうやって出てくるのかなという当たり前のことが頭をよぎりました。

で、まず思い浮かんだのが、円の中に内接する正六角形を描き、これの外周を調べる方法。
正六角形なので、この頂点と円の中心を線で結んでやると、正三角形が6つできるはず。
このことから外周はあっさり半径xに対して6xと出てきちゃって終了w
直径＝2x*πなので、実際のπは3以上としか出てこないんで、なんとかこれを証明するには、内接する正八角形以上の数字が必要なはず。
んで、後は中学校で習った三平方の定理の駆使で解ける様子でした。
(蛇足ですが、、、y=x*sin(pi/x)の数式で、yの値を3.05に設定すると、xはおよそ7.48くらいになり、正八角形以上でないと求められないようです)

と、ここまでは前置き(堅くてすみません；；)なんですが、実際πってどうやってだしてるんだろーと思いまして。
よく、コンピュータの限界にチャレンジって書いてあるから、どうやって計算してんだろうって。
で、実際調べてみたら、どうもモンテカルロ法っていう方法で計算されてるみたいで、確率とは直接関係のない問題を、わざわざ確率を使って解くことによって求める、との説明が。
なんのこっちゃわかりません＾＾；
んで、詳しい説明を探してみたら、ちょっと面白かったんですよ、これが。

正方形があって、それにぴったり円が内側に接してる図をイメージしてみてください。
実際紙で書くとわかりやすいかも。
で、正方形の中に適当にバシバシと無数に点を打ちます。
んで、とある点が円の中にある確率がどれくらいかというと、
円の中にある点の数÷点を打った全体の数
ですよね？
単に点のうちに円の中の点だけを抜いた式です。

そして、でたらめに無数に点を打つということから、その正方形の中が全部点で埋まってる図を想像してみてください。
真っ黒に塗りつぶされちゃってるイメージかな？
そうすると、この確率、結局次の式に置き換わるかと思います。
円の面積÷正方形の面積

んで、正方形の一つの辺の長さを仮にaとして、これを計算してみると、
((a÷2)*(a÷2)*π)÷(a*a)
＝π÷4
となるんです。
で、この性質に従って、コンピュータが辺の長さを決め、乱数を入れて、πの計算をするそうなんです。
全然πとは関係なさそうな確率やら乱数っていう形で、一旦遠ざかってから、あえて求めるってのがなんともコンピュータらしいなあと思ってしまって、ちょっぴり面白かったです。

ちなみに、モンテカルロって元々F1好きの方ならご存知だと思うんスけど、モナコの町名なんですよね。
モナコって元々超富裕家たちのリゾート地で、カジノとかのギャンブルがお盛んな場所。
モンテカルロ法ってのは、ランダムに数を使って何かを解く方法全般をいうみたいで、なんだかすごく不思議な感じがしたんだけど、、、オレだけかな？＾＾；

そういえば、πに関する資料を見ていたら、ふと昔やってた語呂合わせでの覚え方を思い出しました。
「産医師異国に向こう　産後薬なく産婦みやしろに虫散々闇に泣く」
あと続きがあったんだけど忘れちゃったなあ。
ちなみに、上の覚え方で、
3.141592653589793238462643383279、ということで、31桁あるんだけど、昔小学生のころって、馬鹿みたいに数字覚えることができて、なぜか100桁くらいまで言えた気がするんですよね。。。
今や語呂合わせなかったら絶対無理だし。。。頭はドンドン低下してるんだなと悲しくなった次第でした(つд⊂)

ただ、このごろあわせってなんか小学生にはちょっとインパクト強かったんですよね。
赤ちゃんを産んで、そのまま生まれたところに虫がブンブン飛んでるのかと思うと、なんだか薄気味悪くなっちゃって。
語呂だからたまたま会う意味のやつを付けただけなんだろうけど、今考えてもちょっと薄気味悪いな、とふと思ってしまったりしたんだけど。

そういや、語呂合わせといえば。。。化学の元素周期表の覚え方で、
「日活ポ○ノ明日サービス日」とかってのありませんでしたっけ？
N，P，As，Sb，Brとかって縦のやつだったんだけど、、、中学生のときってそういうエロネタばっかり覚えてた気がするな。。。つーか、今でもそんなのしか覚えてないんだよなw
勿体無いな、と思いつつ、、、必要じゃなかったからどんどん抜けていくだけのことなんだろうけど、ふと自分の記憶の底に眠り込んだままのそんな無駄な知識を引っ張り出してくるのも結構懐かしくも面白くて、ふと中学生当時のこととか思い返してしまった夜でした。